Herbert BREGER
 

Les axiomes mathématiques.

jeudi 30 septembre, 16h00-16h30

Résumé de la communication :

Das Projekt, die mathematischen Axiome zu beweisen, scheint befremdlich, denn aus Definitionen und identischen Aussagen lässt sich offenbar nur Triviales beweisen. Leibniz' umfangreiche Studien zu dieser Thematik, die in den Nouveaux Essais knapp und programmatisch zusammengefasst werden, sind jedoch nicht so kurz abzutun. Sie stehen im Zusammenhang eines explizit logizistischen Programms, das einerseits dem typisch mathematischen Streben nach einer Minimierung der bei einem Beweis verwendeten Voraussetzungen entspricht, das aber andererseits merkwürdige Inkonsequenzen aufzuweisen scheint. Wie Michel Fichant in einer Untersuchung zu Leibniz' Beweis von 2 + 2 = 4 gezeigt hat, spielen in diesem Beweis inhaltliche Momente eine Rolle, die vom Standpunkt eines Logizisten wie Frege inkonsequent und unzulässig sind. Tatsächlich kritisiert Leibniz an zahlreichen anderen Stellen die Rolle der imaginatio in der cartesischen Mathematik, und er lehnt die Verwendung von aus der sinnlichen Wahrnehmung stammenden Bildern und Vorstellungen (etwa beim Beweis des Parallalenaxioms) ab. Die Annahme einer Inkonsequenz bei Leibniz verbietet sich offenbar; vielmehr ist davon auszugehen, dass er sein Vorgehen mit seinem logizistischen Programm für vereinbar hielt. Welcher Status ist also diesen inhaltlichen Momenten in Leibniz' Überlegungen zuzubilligen ?

Die Frage stellt sich um so dringlicher, als inhaltliche Momente nicht nur auf den Beweis des Satzes 2+2 = 4 beschränkt sind. Leibniz formuliert kein Vollstandigkeitsaxiom, obwohl in seiner Mathematik – im Unterschied zur cartesischen – ein solches unerläßlich ist. Die Vollständigkeit des geometrischen Objektbereichs würde aus dem Kontinuitätsprinzip folgen. Soweit mir bekannt, formuliert Leibniz jedoch kein Axiom wie „Der geometrische Raum erfüllt das Kontinuitätsprinzip." Ein solches Axiom wäre sicher nicht aus Definitionen und identischen Wahrheiten beweisbar. Vielleicht kann das Kontinuitätsprinzip als identische Wahrheit betrachtet werden, wenn der Gegenstandsbereich als kontinuierlich unterstellt wird. Diese Unterstellung bleibt jedoch ein vorausgesetztes inhaltliches Moment.